Задача 103806

Темы:    [ Подсчет двумя способами ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3- Классы: 7

Условие

Автор: Галочкин А.И.

По кругу расставлены цифры 1, 2, 3,..., 9 в произвольном порядке. Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трёхзначное число. Найдите сумму всех девяти таких чисел. Зависит ли она от порядка, в котором записаны цифры?

Подсказка

В наших числах каждая цифра появляется ровно по одному разу в каждом из разрядов — сотен, десятков и единиц.

Решение

Трёхзначное число, у которого в разряде сотен — цифра a, в разряде десятков — цифра b, а в разряде единиц — цифра c, равно 100a + 10b + c. (Например, 394 = 3 ^. 100 + 9 ^. 10 + 4.) Просматривая по кругу наши девять трёхзначных чисел, замечаем, что каждая цифра встречается ровно по одному разу в каждом из разрядов — сотен, десятков и единиц. То есть каждая цифра один раз войдёт в нашу сумму с коэффициентом 100, один раз — с коэффициентом 10 и один раз — с коэффициентом 1. Значит, искомая сумма не зависит от порядка, в котором записаны цифры, и равна

(100 + 10 + 1)(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 111 ^. 45 = 4995.

Ответ

4995; не зависит.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Математический праздник
год
Год	1996
класс
	1
Класс	7
задача
Номер	1