|
|
 |
Условие
Внутри вписанного четырёхугольника ABCD существует точка K, расстояния от которой до сторон ABCD пропорциональны этим сторонам.
Доказать, что K – точка пересечения диагоналей ABCD.
Решение
Первый способ. Пусть U – точка пересечения касательных к окружности ABCD в точках A и C, X, Y – проекции U на AB и BC. Тогда
UX : UY = sin∠UAX : sin∠UCY = sin∠BCA : sin∠BAC = AB : BC, то есть K лежит на прямой UB. Аналогично K лежит на прямой UD, и, если эти прямые не совпадают, то K = U. Точно так же доказывается, что, если не совпадают прямые AV и CV, где V – точка пересечения касательных в точках B и D, то
K = V, что невозможно. Будем считать, что на одной прямой лежат точки B, D, U. Тогда AB : AD = AU : UD = CU : UD = BC : CD, и точки A, C, V также лежат на одной прямой. Следовательно, K – точка пересечения AC и BD.
Второй способ. Множество точек, расстояния от которых до прямых AB и CD пропорциональны соответствующим сторонам, – это прямая, проходящая через точку пересечения AB и CD. Так как четырёхугольник ABCD – вписанный, треугольники LAB и LCD, где L – точка пересечения диагоналей, подобны, то есть L лежит на указанной прямой. Аналогично L лежит на второй такой же прямой и, значит, совпадает с K.
