|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC угол A равен α, BC = a. Вписанная окружность касается прямых AB и AC в точках M и P.
Найти длину хорды, высекаемой на прямой MP окружностью с диаметром BC.
Решение
Первый способ. Расстояние от центра окружности до указанной хорды равно полусумме расстояний от точек B и C до прямой MP, то есть
½ (BM sin∠AMP + CP sin∠APM) = ½ (BM + CP) cos α/2 = a/2 cos α/2 (рис. слева).
Соответственно, длина хорды равна a sin α/2.
Второй способ. Пусть I – центр вписанной окружности треугольника, X, Y – точки пересечения прямых BI, CI с прямой MP (рис. справа). Тогда
∠MXB = ∠AMP – ∠MBX = ½ ∠C. Следовательно, треугольники BXM и BCI подобны, то есть BX : BC = BM : BI. Значит, треугольники BXC и BMI также подобны, то есть угол BXC – прямой. Аналогично угол BYC прямой. Следовательно, искомая хорда
XY = BC sin∠XCY = a sin α/2 (∠XCY = 90° – ½ ∠B – ½ ∠С = α/2).
Ответ
a sin α/2.
