|
|
 |
Условие
Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается его граней в точках A', B', C', D'. Отрезки AA' и BB' пересекаются, и точка их пересечения лежит на вписанной сфере. Доказать, что отрезки CC' и DD' тоже пересекаются на вписанной сфере.
Решение
Так как отрезки AA' и BB' пересекаются, прямые AB и A'B' тоже пересекаются или параллельны. Обозначим их точку пересечения (возможно, бесконечно удалённую) через P. Так как P лежит вне двугранного угла при ребре CD, плоскость CDP не пересекает вписанную сферу. Поэтому существует проективное преобразование, сохраняющее сферу и переводящее эту плоскость в бесконечно удалённую. В результате этого преобразования отрезок A'B' станет диаметром сферы, а AB будет ему параллелен. Так как точка пересечения AA' и BB' лежит на сфере, расстояние от её центра до AB равно удвоенному радиусу (на рис. слева показана проекция на плоскость ABA'B').
