Задача 105067

Темы:    [ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ] [ Объем помогает решить задачу ] [ Правильный тетраэдр ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Терешин Д.А.

Грани правильного октаэдра раскрашены в белый и черный цвет. При этом любые две грани, имеющие общее ребро, покрашены в разные цвета.
Докажите, что для любой точки внутри октаэдра сумма расстояний до плоскостей белых граней равна сумме расстояний до плоскостей черных граней.

Решение

Плоскости, которым принадлежат грани каждого цвета, в пересечении образуют равные правильные тетраэдры. Чтобы доказать это, Рассмотрим куб ABCDEFGH (см. рис.) и два тетраэдра: ACFH и BDEG. Пересечение этих тетраэдров есть октаэдр. Действительно, вершины пересечения есть середины граней куба, а середины граней куба являются вершинами октаэдра.
Черные грани октаэдра лежат на одном тетраэдре, а белые – на другом.
Далее утверждение задачи следует из того, что сумма расстояний от внутренней точки правильного тетраэдра до его граней постоянна и равна утроенному объему тетраэдра, деленному на площадь грани. Докажем последнее утверждение. Пусть A, B, C и D – вершины тетраэдра, O – точка внутри тетраэдра, h_A, h_B, h_C и h_D – расстояния от точки O до плоскостей BCD, ACD, ABD и ABC соответственно. Пусть S – площадь грани тетраэдра ABCD. Тогда объемы тетраэдров BCDO, ACDO, ABDO и ABCO равны (1/3)Sh_A, (1/3)Sh_B, (1/3)Sh_C и (1/3)Sh_D соответственно. Поэтому объем тетраэдра ABCD равен (S/3)(h_A+h_B+h_{C+hD), откуда следует требуемое утверждение.}

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	1999
вариант
Класс	11
задача
Номер	3