|
|
 |
Условие
Решите в натуральных числах уравнение (1 + nk)l = 1 + nm, где l > 1.
Решение
Пусть p – простой множитель числа l. Число nm = (1 + nk)l – 1 делится на (1 + nk)p – 1. Но это выражение равно pnk + ½ p(p – 1)n2k + rn3k, где r – неотрицательное целое число. Разделив на nk, получим p + ½ p(p – 1)nk + rn2k. Если n не делится на p, то это выражение взаимно просто с n, и nm не может на него делиться. Значит, p – делитель n. Тогда 1 + ½ (p – 1)nk + rn2k/p – натуральное число, большее единицы. Если k > 1 или p нечётно, то второе слагаемое кратно n (третье всегда кратно n), а сумма взаимно проста с n, и nm не может на неё делиться. Следовательно, k = 1 , а l – степень двойки.
Вспомним теперь, что nm = (1 + nk)l – 1 = (1 + n)l – 1 = ln + ... В правой части все члены, начиная со второго, кратны n². Из этого, поскольку m > 1, следует, что l кратно n. Значит, n, как и l, является степенью двойки. Тогда nm = (1 + n)l – 1 делится на (1 + n)² – 1 = (n + 2)n, откуда n + 2 – также степень двойки. Следовательно, n = 2.
При l > 2 разность (1 + n)l – 1 = 3l – 1 кратна 3² + 1 = 10, а это – не степень двойки. Значит, l = 2, откуда m = 3.
Ответ
n = 2, k = 1, l = 2, m = 3.
