Задача 105132

Темы:    [ Тангенсы и котангенсы углов треугольника ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Неравенства с углами ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Тангенсы углов треугольника – целые числа. Чему они могут быть равны?

Решение

  Наименьший угол треугольника не превосходит 60°, поэтому его тангенс может равняться только 1    Значит, сумма двух оставшихся углов равна 135°. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Наименьший из этих двух углов не может равняться 45° (иначе третий угол равен 90°), но он не больше 67,5°, поэтому его тангенс меньше 3 (если  tg φ = 3,  то     значит,  2φ > 135°).  Следовательно, его тангенс равен 2. Тангенс последнего угла находится как тангенс суммы двух первых углов, взятый с противоположным знаком:  

  Второй способ. Пусть  tg α = m,  tg β = n.  Тогда     то есть  m + n = mn – 1.  Записав это уравнение в виде  (m – 1)(n – 1) = 2,  видим, что один из множителей равен 1, а второй – 2.

Ответ

1, 2 и 3.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	65
Год	2002
вариант
Класс	10
задача
Номер	1
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	65
Год	2002
вариант
Класс	11
задача
Номер	1
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2001/2002
Номер	23
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	1