|
|
 |
Условие
а) Из картона вырезали 7 выпуклых многоугольников и
положили на стол так, что любые 6 из них можно прибить к столу двумя
гвоздями, а все 7 нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их
расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)
б) Из картона вырезали 8 выпуклых многоугольников и положили на стол
так, что любые 7 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а
все 8 — нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их
расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)
Решение
а) Рассмотрим выпуклый семиугольник ABCDEFG (например, правильный). Искомые семь многоугольников -- это треугольники, определенные парами соседних сторон семиугольника (т. е. треугольники ABC, BCD, CDE, DEF, EFG, FGA и GAB, рис., а). Докажем, что они удовлетворяют условию задачи. Рассмотрим какие-нибудь шесть из них, например, все, кроме треугольника GAB. Их можно прибить двумя гвоздями (в точках F
а)
б)
в)
г)
и C). С другой стороны, так как любой гвоздь прибивает не более трех из наших многоугольников, то двумя гвоздями можно прибить не более шести многоугольников.
б) Рассмотрим правильный семиугольник ABCDEFG (рис., б). Искомые восемь многоугольников -- это четырехугольники ABCD, BCDE, CDEF, DEFG, EFGA, FGAB, GABC и "маленький" семиугольник, находящийся в центре, ограниченный диагоналями AD, BE, CF, DG, EA, FB, GC. Покажем, что любые семь из них можно прибить двумя гвоздями. Действительно, если взять семь четырехугольников ABCD, ..., GABC, то их можно прибить к столу гвоздями в точках A и E. Если же взять центральный семиугольник и шесть четырехугольников, например, все кроме BCDE, то их можно прибить гвоздями в точках H и F, где H -- общая точка отрезков AD и CG.
Теперь докажем, что все восемь многоугольников нельзя прибить двумя гвоздями. Предположим, что можно. Тогда один из гвоздей должен прибивать центральный семиугольник. Но этот гвоздь прибивает не более двух четырехугольников. Значит, оставшийся гвоздь должен прибить по меньшей мере пять четырехугольников, что невозможно. Противоречие.
Комментарии. 1o. Можно построить пример, в котором гвозди прибивают внутренние точки многоугольников. Например, можно немного раздуть" имеющиеся многоугольники (рис., в и г).
2o. Знаменитая теорема Хелли утверждает, что если на плоскости даны несколько выпуклых многоугольников, любые три из которых можно прибить к плоскости одним гвоздем, то и все многоугольники можно прибить одним гвоздем. Наша задача опровергает аналогичное утверждение с заменой одного гвоздя на два.
