|
|
 |
Условие
Докажите, что для любого натурального числа d существует делящееся на него натуральное число n, в десятичной записи которого можно вычеркнуть некоторую ненулевую цифру так, что получившееся число тоже будет делиться на d.
Решение 1
Число n можно записать в виде n = 10k(10a + b) + c, где 0 ≤ c < 10k, b – ненулевая цифра, которую вычеркиваем, a – число, образованное цифрами, стоящими левее b. Тогда после вычеркивания получится число n1 = 10ka + c. Разность этих чисел – n – n1 = 10k(9a + b). Чтобы выполнялось условие задачи, достаточно, чтобы числа 9a + b и 10ka + c делились на d.
Если d не делится на 9, то в качестве b возьмём остаток от деления d на 9, иначе положим b = 9. Тогда d – b делится на 9, и мы возьмём a = 1/9 (d – b). Имеем 9a + b = d, и осталось подобрать c и k, чтобы 10ka + c делилось на d. Пусть k – такое число, что 10k–1 > d. Число 10ka + 10k–1 разделим с остатком на d: 10ka + 10k–1 = dq + r, 0 ≤ r < d. Положим c = 10k–1 – r > 0, тогда 10ka + c = dq делится на d.
Решение 2
Рассмотрим для произвольного натурального k число nk = 10kd – d. Пусть l – количество знаков в десятичной записи числа d. Заметим, что при k > l десятичная запись числа nk выглядит следующим образом: сначала идет десятичная запись числа d – 1, затем – серия девяток и наконец – десятичная запись числа 10l – d. Таким образом, при k ≥ l число nk можно получить из числа nk+1 путем вычеркивания одной из девяток в центральной части десятичной записи. Очевидно также, что все числа nk делятся на d.
