ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 105210
Условие Может ли сумма тангенсов углов одного треугольника
равняться сумме тангенсов углов другого, если один из этих треугольников
остроугольный, а другой тупоугольный?
РешениеПервый способ. Пусть , и --углы одного из данных треугольников. Тогда
tg + tg + tg = tg + tg + tg( - ( + )) =
= tg + tg - tg( + ) = tg( + )(1 - tg tg) - tg( + ) =
= - tg( + )tg tg = tg tgtg.
Таким образом доказано, что равенство tg + tg + tg = tgtgtg верно для углов любого треугольника. Но в остроугольном треугольнике тангенс каждого угла положителен, поэтому их произведение --положительно. В тупоугольном треугольнике тангенс тупого угла отрицателен, а два других тангенса положительны, поэтому произведение трех тангенсов отрицательно. Второй способ. Так как наибольший угол в тупоугольном треугольнике больше, чем в остроугольном, а сумма углов одинакова, то один из углов остроугольного треугольника больше одного из углов тупоугольного. Пусть в остроугольном треугольнике это угол . Другие два угла обозначим и . В тупоугольном треугольнике обозначим выбранный угол , другой острый угол --, а тупой угол --. Поскольку углы , и - > --острые, то в силу возрастания тангенса tg( - ) > tg, а это, учитывая тождество tg( - ) = - tg, равносильно неравенству tg + tg < 0. Следовательно,
tg + tg + tg > tg > tg > tg + tg + tg.
Таким образом, сумма тангенсов углов в остроугольном треугольнике всегда больше,
чем в тупоугольном. Следовательно, двух треугольников, указанных в условии задачи, не
существует.
ОтветНет, не может.Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|