Информация о задаче

Задача 105210

Темы:	[	Тангенсы и котангенсы углов треугольника	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Неравенства с углами	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Может ли сумма тангенсов углов одного треугольника равняться сумме тангенсов углов другого, если один из этих треугольников остроугольный, а другой тупоугольный?

Решение

Первый способ. Пусть $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ --углы одного из данных треугольников. Тогда

tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ + tg $\displaystyle \gamma$ = tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ + tg( $\displaystyle \pi$ - ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ )) =

= tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ - tg( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) = tg( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ )(1 - tg $\displaystyle \alpha$ tg $\displaystyle \beta$ ) - tg( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ ) =

= - tg( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ )tg $\displaystyle \alpha$ tg $\displaystyle \beta$ = tg $\displaystyle \alpha$ tg $\displaystyle \beta$ tg $\displaystyle \gamma$ .

Таким образом доказано, что равенство tg $\alpha$ + tg $\beta$ + tg $\gamma$ = tg $\alpha$ tg $\beta$ tg $\gamma$ верно для углов любого треугольника. Но в остроугольном треугольнике тангенс каждого угла положителен, поэтому их произведение --положительно. В тупоугольном треугольнике тангенс тупого угла отрицателен, а два других тангенса положительны, поэтому произведение трех тангенсов отрицательно.

Второй способ. Так как наибольший угол в тупоугольном треугольнике больше, чем в остроугольном, а сумма углов одинакова, то один из углов остроугольного треугольника больше одного из углов тупоугольного. Пусть в остроугольном треугольнике это угол $\alpha$ . Другие два угла обозначим $\beta$ и $\gamma$ . В тупоугольном треугольнике обозначим выбранный угол $\alpha{^\prime}$ , другой острый угол -- $\beta{^\prime}$ , а тупой угол -- $\gamma{^\prime}$ . Поскольку углы $\beta{^\prime}$ , и $\pi$ - $\gamma{^\prime}$ > $\beta{^\prime}$ --острые, то в силу возрастания тангенса tg( $\pi$ - $\gamma{^\prime}$ ) > tg $\beta{^\prime}$ , а это, учитывая тождество tg( $\pi$ - $\gamma{^\prime}$ ) = - tg $\gamma{^\prime}$ , равносильно неравенству tg $\gamma{^\prime}$ + tg $\beta{^\prime}$ < 0. Следовательно,

tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ + tg $\displaystyle \gamma$ > tg $\displaystyle \alpha$ > tg $\displaystyle \alpha{^\prime}$ > tg $\displaystyle \alpha{^\prime}$ + tg $\displaystyle \beta{^\prime}$ + tg $\displaystyle \gamma{^\prime}$ .

Таким образом, сумма тангенсов углов в остроугольном треугольнике всегда больше, чем в тупоугольном. Следовательно, двух треугольников, указанных в условии задачи, не существует.

Ответ

Нет, не может.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	2006
вариант
Класс	10
задача
Номер	2