Условие
В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так, что каждая из них проходит через середину какой – либо другой из проведённых хорд. Докажите, что все эти хорды являются диаметрами круга.
Решение
Заметим, что чем меньше расстояние от центра
O окружности до хорды, тем больше длина хорды. Так как хорд конечное число, то среди них есть наименьшая по длине, скажем,
AB. По условию, она проходит через середину
K некоторой другой хорды, скажем,
CD. Если точка пересечения
AB и
CD не является также и серединой
AB, то расстояние от точки
O до
CD будет, очевидно, больше, чем расстояние от
O до
AB (т. к.
OK будет больше длины перпендикуляра, опущенного из точки
O на
AB), следовательно, хорда
CD имеет меньшую, чем
AB, длину — противоречие. Значит,
CD проходит через середину
AB, откуда перпендикуляры, опущенные из точки
O на эти хорды, совпадают. Это возможно, только если
AB и
CD совпадают, или если
AB и
CD пересекаются в центре. Первое невозможно, значит
AB и
CD — диаметры. Точно также доказывается, что все остальные хорды проходят через
O.
 |
| Рис. 1 |
Источники и прецеденты использования
