|
|
 |
Условие
Ваня считает, что дроби "сокращают", зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Серёжа заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например, 49/98 = 4/8. Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так "сократить".
Решение
Рассмотрим все возможные случаи сокращений.
1) . Получаем (10b + a)c = (10b + c)a, bc = ba. b ≠ 0, следовательно, c = a, а по условию дробь правильная. Поэтому решений нет.
2) . Аналогично первому случаю получаем, что решений тоже нет.
3) . Получаем (10b + a)c = (10c + b)a, откуда 9c(a – b) = b(c – a). Так как дробь правильная, то a < c. Следовательно, a > b, откуда a – b ≥ 1.
9c(a – b) ≥ 9c > 9(c – a) ≥ b(c – a), то есть 9c(a – b) > b(c – a), что невозможно.
4) . Тогда (10a + b)c = (10b + c)a,
откуда 9a(b – c) = b(c – a). Как в предыдущем случае замечаем, что b > c > a. Значит, c – a не может равняться 9, поэтому b кратно 3.
Если b = 3, то c = 2, a = 1. Но эти значения не удовлетворяют уравнению.
Если b = 6, то c – a = 3, откуда c = 5, a = 2 или c = 4, a = 3. Оба варианта годятся.
Если b = 9, то a(9 – c) = c – a, то есть 10a = c(a + 1). Так как a и a + 1 взаимно просты, то 10 делится на a + 1. Значит, a = 1 или a = 4, откуда, соответственно, c = 5 или с = 8.
Ответ
26/65, 16/64, 19/95, 49/98.
