Условие
Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q (P – на прямой BM, Q – на прямой BN). Докажите, что отрезки MP и NQ равны.
Решение 1
Пусть окружности расположены как на рисунке.
По теореме о вписанных углах ∠APM = ∠ANQ и ∠AQN = ∠AMP, следовательно, треугольники AQN и AMP подобны.
При этом ∠MAN = ∠BAM + ∠BAN = ∠ANB + ∠BAN = ∠ABQ. Поэтому ⌣AQ = 2∠ABQ = 2∠MAN = ⌣ABM. Значит, равны и хорды AQ и AM. Поэтому треугольники AQN и AMP не только подобны, но и равны, и MP = NQ.
Решение 2
По теореме о секущей и касательной MP = AM²/MB, NQ = AN²/NB, то есть достаточно доказать, что AM² : AN² = MB : NB. (*)
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что треугольники
AMB и NAB подобны (см. рис.). Значит, AM : AN = AB : NB
и AM : AN = MB : AB. Перемножая, получаем равенство (*).
Замечания
1. Если центр одной из окружностей расположен внутри другой, то картинка меняется. Если центр каждой из окружностей находится внутри другой, то получается третья картинка. В этих случаях в решении 1 вместо равенства углов ABQ и MAN нужно доказать, что эти углы составляют в сумме 180°. Решение 2 остаётся без изменений.
2. 3 балла.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4277 |
| журнал | |
| Название | "Квант" |
| год | |
| Год | 1994 |
| выпуск | |
| Номер | 4 |
| Задача | |
| Номер | М1442 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 57 |
| Год | 1994 |
| вариант | |
| Класс | 9 |
| задача | |
| Номер | 4 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Номер | 15 |
| Дата | 1993/1994 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, основной вариант, 8-9 класс |
| Задача | |
| Номер | 2 |
