Задача 107770

Темы:    [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Системы линейных уравнений ] [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Маркелов С.В.

Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть l_A, l_B, l_C и l_D – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть l_P и l_Q – внешние биссектрисы углов соответственно A_PD и A_QB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через M_AC точку пересечения l_A и l_C, через M_BD – l_B и l_D, через M_PQ – l_P и l_Q. Докажите, что, если все три точки M_AC, M_BD и M_PQ существуют, то они лежат на одной прямой.

Решение 1

  Точки биссектрисы угла равноудалены от сторон этого угла.
  Для каждой прямой, содержащей сторону четырёхугольника ABCD, определим функцию  f_i – ориентированное расстояние до этой прямой: если точка лежит по ту же сторону от прямой, что и четырёхугольник, то берём обычное расстояние, а если – по другую сторону, то расстояние со знаком минус. Эти четыре функции  f₁,  f₂,  f₃,  f₄ от координат точек являются линейными, то есть записываются в виде  f_i(x, y) = a_ix + b_iy + c_i.
  Заметим, что точка лежит на биссектрисе внешнего угла четырёхугольника тогда и только тогда, когда сумма значений двух функций для сторон угла обращается в нуль; а для каждой из точек пересечения биссектрис, о которых говорится в условии, сумма всех четырёх функций обращается в нуль.
  Но сумма линейных функций является линейной функцией, а множество точек, на котором линейная функция, отличная от константы, принимает постоянное значение, есть прямая. Сумма наших четырёх функций не является тождественным нулем, поскольку внутри четырёхугольника она положительна. Поэтому указанные точки пересечения биссектрис лежат на одной прямой.

Решение 2

  Пусть прямые l_C и l_Q пересекаются в точке G, l_A и l_P – в G', l_C и l_D – в H, l_A и l_B – в H', l_Q и l_D – в F, l_P и l_B – в F'. Тогда F – центр вневписанной окружности треугольника QDC. Значит, CF – бисектриса угла DCB. Аналогично CF' – бисектриса угла DCB. Следовательно, прямая FF' – биссектриса угла DCB. Аналогично GG' – бисектриса угла ADC; а HH' – угла CQD.
  Поэтому FF', GG' и HH' пересекаются в центре вписанной окружности треугольника QDC. По теореме Дезарга точки M_AC, M_BD и M_PQ лежат на одной прямой.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	15
Дата	1993/1994
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	6
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	57
Год	1994
вариант
Класс	11
задача
Номер	5
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1994
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М1449