Задача 107781

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Егоров А.А.

Точки I‍_a, I‍_b и I‍_c – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон соответственно BC, AC и AB треугольника ABC, I — центр вписанной окружности этого треугольника. Докажите, что описанная окружность треугольника ABC проходит через середины сторон треугольника I‍_aI‍_bI‍_c и середины отрезков II‍_a, II‍_b и II‍_c.

‍

Подсказка

Описанная окружность треугольника ABC есть окружность девяти точек треугольника I‍_aI‍_bI‍_c.

Решение

Заметим, что точки A, B и C – основания высот треугольника I_aI_bI_c (см. задачу 56831), поэтому окружность, описанная около треугольника ABC, есть окружность девяти точек треугольника I_aI_bI_c. Значит, эта окружность проходит через середины сторон треугольника I_aI_bI_c. Поскольку I_aA, I_bB, I_cC – высоты треугольника I_aI_bI_c, точка I – ортоцентр этого треугольника. Следовательно, описанная окружность треугольника ABC проходит и через середины отрезков II_a,II_b и II_c.

Замечания

Из доказанного утверждения следует теорема Мансиона: отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам (см. задачу 52395).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	897