|
|
 |
Условие
Известно число sin α. Какое наибольшее число значений может
принимать а) sin α/2, б) sin α/3?
Решение
а) Покажем сначала, что sin α/2 не может принимать больше четырёх значений. Действительно, если sin α = sin β, то β = α + 2πk либо
β = π – α + 2πk (k – целое число). Соответственно β/2 = α/2 + πk либо β/2 = (π–α)/2 + πk. Этим значениям на единичной окружности соответствуют точки α/2, α/2 + π, π/2 – α/2, 3π/2 – α/2 и только они. Некоторые из этих точек могут совпадать, но в любом случае точек не более четырёх.
Осталось привести пример, когда значения синуса в этих четырёх точках попарно различны. Пусть, например, sin α = , тогда указанные точки – это π/6, π/3, 7π/6, 4π/3. Синус принимает в этих точках следующие значения: ½,
, – ½, –
.
б) Если sin α = 0, то α = kπ (k – целое). Значит, sin α может равняться sin 0 = 0, sin π/3 = и sin 4π/3 = –
.
Покажем, что sin α/3 не может принимать больше трёх значений. Пусть sin = t. Тогда sin α = – 4t³ + 3t.
Осталось заметить, что многочлен третьей степени имеет не более трёх корней.
Замечания
1. Если n нечётно, то sin nφ есть многочлен степени n от sin φ, а cos nφ есть многочлен степени n от cos φ при любом n.
2. Если sin nφ задан, то максимальное число значений, которое может принимать sin φ, равно n при нечётном n и 2n при чётном n.
При заданном cos nφ cos φ может принимать не более n различных значений (вне зависимости от чётности n).
