|
|
 |
Условие
На доске написаны три функции: f1(x) = x + 1/x, f2(x) = x², f3(x) = (x – 1)². Можно складывать, вычитать и перемножать эти функции (в том числе возводить в квадрат, в куб, ...), умножать их на произвольное число, прибавлять к ним произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию 1/x.
Докажите, что если стереть с доски любую из функций f1, f2, f3, то получить 1/x невозможно.
Решение
Поскольку f2(x) – f3(x) = 2x – 1, и поскольку мы можем прибавить 1 и умножить полученное выражение 2x на ½, можно получить функцию x. Вычитая ее из f1(x), получим 1/x = f1(x) – ½ (f2(x) – f3(x) + 1).
Поскольку операция деления не дозволена, выразить 1/x только через функции f2 и f3 невозможно: если умножать и складывать многочлены, то опять получатся многочлены, а функция 1/x многочленом не является.
Производные функций f1 и f3 в точке x = 1 равны 0. Если производные двух функция в точке 1 равны 0, то производная как их суммы, так и их произведения равна 0. Так что все функции, которые можно получить при помощи указанных операций из функций f1 и f3, имеют нулевую производную в точке 1. A производная функции 1/x в точке 1 отлична от 0.
Все наши функции определены при всех комплексных x ≠ 0. Если подставить x = i в f1 и f2, то получим i + i–1 = 0, i² = –1 – числа вещественные. Значит, каждая из функций, полученных из f1 и f2 будет иметь вещественное значение в точке i. А только через вещественные числа выразить мнимое число f3(i) = – 2i нельзя.
