Задача 107864
|
|
 |
Условие
Про непрерывную функцию f известно, что:- f определена на всей числовой прямой;
- f в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график f в каждой точке имеет единственную касательную);
- график функции f не содержит точек, у которых одна из координат рациональна, а другая — иррациональна.
Следует ли отсюда, что график f — прямая?
Решение
f (x) = 
2 - x,еслиx
1;
1/x,еслиx > 1.
(график этой функции изображен на рис.). Первое свойство
очевидно, второе свойство следует из того, что производные функций 2 - x и
1/x в точке 1 равны.
1/x,еслиx > 1.
Докажем третье свойство. Очевидно, что если x рационально, то и f (x)
рационально. Пусть y = f (x) рационально. Тогда или x = 2 - y, или x = .
В любом случае x рационально. Значит, рациональным x соответствуют
рациональные f (x) и наоборот.
