Задача 108070

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ ГМТ и вписанный угол ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Маркелов С.В.

Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с AB. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.

Решение

  Выберем произвольную точку A' внутри стороны BC и проведём отрезок AA'. Очевидно, что среди отрезков с началом в точке C и концом на стороне AB имеются только два, равных отрезку AA'. Это такие отрезки CC₁ и CC₂, что  ∠C₁CA = ∠C₂CB = ∠A'AC  (см. рис.).

  Рассмотрим точки P₁ и P₂ пересечения AA' c прямыми CC₁ и CC₂ соответственно. Точка P₁ лежит на высоте треугольника ABC, проведённой из вершины B, а для точки P₂ имеем:  ∠AP₂C = 180° – ∠A'AC – ∠C₂CA = 180° – ∠A'AC – (60° – ∠A'AC) = 120°,  то есть отрезок AC виден из точки P₂ под углом 120°. Значит, геометрическое место точек P₂ – это дуга окружности (без концов A и C). На этой же дуге лежит центр O треугольника ABC. Проводя приведённые рассуждения в обратном порядке, убедимся, что все точки дуги AOC удовлетворяют условию задачи.

Ответ

Фигура, состоящая из высоты BH (без точек B и H) и дуги AOC (без точек A и C).

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4350
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	58
Год	1995
вариант
Класс	10
задача
Номер	2
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	58
Год	1995
вариант
Класс	9
задача
Номер	2
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	16
Дата	1994/1995
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3