ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 108078
УсловиеВ треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Известно, что DE – биссектриса угла ADC. Найдите величину угла A. ПодсказкаДокажите, что E – центр вневписанной окружности треугольника ADB. Решение 1Точка E равноудалена от прямых AD, BC и AB, поскольку она лежит на биссектрисах DE и BE углов ADC и ABC. Значит, E – центр вневписанной окружности треугольника ADB. Поэтому точка E лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине A треугольника ABD, а так как AD – биссектриса угла BAC, то лучи AE и AD делят развёрнутый угол с вершиной A на три равных угла. Следовательно, каждый из них равен 60°, а ∠A = 120°.
Решение 2Проведём через вершину B прямую, параллельную AD, до пересечения с прямой AC в точке G. Заметим, что ∠GBA = ∠BAD = ∠DAE = ∠BGC, то есть треугольник BAG равнобедренный (AB = AG). Как известно, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Применяя это свойство к биссектрисам DE и BE, получим DA : DC = AE : EC = BA : BC. Но DA : DC = BG : BC (треугольники ACD и GCB подобны). Значит, BA = BG и треугольник BAG – равносторонний. Поэтому ∠BAG = 60°. Ответ120°. Замечания5 баллов Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|