Задача 108086

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Блинков А.Д.

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат ABDE. Известно, что  AC = 1,   BC = 3.
В каком отношении делит сторону DE биссектриса угла C?

Подсказка

Пусть O – центр данного квадрата. Докажите, что CO – биссектриса угла C.

Решение 1

Пусть O – центр данного квадрата. Точки C и O лежат на окружности с диаметром AB (рис. слева). Из равенства хорд AO и BO следует равенство вписанных углов ACO и BCO, поэтому луч CO – биссектриса угла C. Значит, прямая CO делит сторону AB квадрата на отрезки, отношение которых равно отношению сторон AC и BC треугольника ABC, то есть  1 : 3.  Поскольку эта прямая проходит через центр квадрата, то она делит противоположную сторону DE в том же отношении.

               

Решение 2

Приложим к квадрату еще три треугольника, равных ABC (рис. справа). Ясно, что образуется квадрат размера 4×4. Так как картинка, очевидно, симметрична относительно центра этого квадрата, а биссектриса угла C совпадает с диагональю CF, то она делит отрезок DE в том же отношении, что и гипотенузу AB, то есть в отношении AC : BC.

Ответ

1 : 3.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 4, 10-11 кл. – 3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4366
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1998/1999
Номер	20
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1998/1999
Номер	20
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2