ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108089
Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

a и b – две данные стороны треугольника.
  Как подобрать третью сторону c так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей с этой стороной делили её на три равных отрезка?
  При каких a и b такая сторона существует?
(Рассматривается вневписанная окружность, касающаяся стороны c и продолжений сторон a и b.)


Решение

  Рассмотрим случай  a < b.  Пусть M и R – точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной  AB = c  треугольника ABC. Как известно (см. задачу 55404),  BM = AR = ½ (a + c – b).
  Заметим, что  BM < c/2  (так как  a < b),  то есть точка M лежит ближе к B, чем к A. Поэтому условие задачи сводится к равенству  ½ (a + c – b) = c/3,  которое легко приводится к виду  c = 3(b – a).
  Мы должны еще проверить неравенства треугольника  c < a + b  и  b < a + c  (третье выполняется автоматически). Второе из них приводится к виду
a < b  и также выполнено автоматически, а первое – к виду  b < 2a.
  Случай  a = b,  очевидно, невозможен. Случай  a > b  "симметричен" разобранному:  c = 3(a – b),  условие разрешимости  b < a < 2b.


Ответ

c = 3|a – b|,  при  b < a < 2b  или  a < b < 2a.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4369
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1997/1998
Номер 19
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .