Задача 108103

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Кожевников П.А.

Дан треугольник ABC. В нём H – точка пересечения высот, I – центр вписанной окружности, O – центр описанной окружности, K – точка касания вписанной окружности со стороной BC. Известно, что отрезки  IO || BC.  Докажите, что отрезки  AO || HK.

Решение

  Пусть A₁ – середина стороны BC. Как известно,  AH = 2OA₁.  Поскольку OA₁KI – прямоугольник, то  OA₁ = IK.  Поэтому  AH = 2IK,  то есть отрезок AH равен диаметру вписанной окружности. Пусть M – точка этой окружности, диаметрально противоположная точке K. Поскольку  AH || KM  и  AH = AM,  то AHKM – параллелограмм, значит,  AM || HK.
  Рассмотрим гомотетию с центром в точке A, переводящую вписанную окружность треугольника ABC во вневписанную окружность этого треугольника, касающуюся стороны BC. При этой гомотетии касательная к вписанной окружности, проведённая через точку M, переходит в прямую BC, значит, точка M переходит в точку касания X вневписанной окружности со стороной BC. Как известно,  BK = CX  (см. задачу 55483).

  Следовательно, A₁ – середина отрезка KX. Поскольку  A₁O || KM  и  A₁O = ½ KM,  то A₁O – средняя линия треугольника KMX. Таким образом, точка O лежит на прямой AM, а  AM || HK.

Замечания

1. Можно проверить, что условие задачи эквивалентно равенству  cos B + cos C = 1.  Это также можно использовать для решения.

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	25
Дата	2003/2004
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6453