ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108109
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках A, B, C и D, как показано на рисунке.

Докажите, что  ∠APB = ∠CQD.


Подсказка

Проведите общую хорду данных окружностей и воспользуйтесь теоремой о вписанных углах.


Решение

  По теореме о вписанных углах  ∠PAC = ∠PQC,  ∠PBD = ∠PQD.
  Поскольку PBD – внешний угол треугольника ABP, то  ∠PBD = ∠PAB + ∠APB.
  Следовательно,  ∠APB = ∠PBD – ∠PAB = ∠PBDPAC = ∠ PQD – ∠PQC = ∠CQD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6459
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 98.4.9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .