Задача 108124

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Храмцов Д.

Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Обозначим через A' , B' , C' точки, симметричные точке I относительно сторон треугольника ABC . Докажите, что если окружность, описанная около треугольника A'B'C' , проходит через вершину B , то ABC = 60^o .

Решение

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC . Обозначим точки касания этой окружности со сторонами AB , BC и AC через A1 , B1 и C1 соответственно. Тогда точки A1 , B1 и C1 – середины отрезков соответственно AA' , BB' и CC' . По теореме о средней линии треугольника A1B1 || A'B' , B1C1 || B'C' и A1C1 || A'C' . Значит, углы треугольника A1B1C1 соответственно равны углам треугольника A'B'C' . Обозначим ABC = β . Поскольку B1C1 AI и B1A1 CI , а AI и CI – биссектрисы углов BAC и BCA треугольника ABC , то
A'B'C' = A1B1C1 = 180^o- AIC = 180^o - (90^o+) = 90^o - ,
а т.к. A'B'C' и A'BC' – противоположные углы вписанного четырёхугольника A'B'C'B , то
A'BC' = 180^o - A'B'C' = 180^o-(90^o - )= 90^o + .
С другой стороны, поскольку точки A' и C' симметричны точке I относительно прямых соответственно BC и AB , то
A'BC' = C'BI+ A'BI = 2 ABI + 2 CBI= 2( ABI + CBI) = 2 ABC = 2β.
Из уравнения 90^o + = 2β находим, что β = 60^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6474
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2003
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	03.4.9.5