Задача 108133

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Общие четырехугольники ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

ABCD – выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках AB и CD как на диаметрах, касаются внешним образом в точке M , отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки A , M и C , вторично пересекает прямую, соединяющую точку M и середину AB в точке K , а окружность, проходящая через точки B , M и D , вторично пересекает ту же прямую в точке L . Докажите, что |MK-ML| = |AB-CD| .

Решение

Пусть P и Q – середины сторон соответственно AB и CD четырёхугольника ABCD , O1 – центр окружности, проходящей через точки A , M и C , O2 – центр окружности, роходящей через точки B , M и D . 1) Точки M , P и Q лежат на одной прямой. В самом деле, PQ – линия центров касающихся окружностей, значит прямая PQ проходит через их точку касания M . 2) Точки P и Q лежат на окружности с диаметром O1O2 . Действительно, AM – общая хорда пересекающихся окружностей с центрами O1 и P , поэтому она перпендикулярна их линии центров O1P . Аналогично O2P BM , а т.к. точка M лежит на окружности с диаметром AB , то AM BM . Поэтому O1PO2 = 90^o . Аналогично докажем, что O1QO2 = 90^o . Значит, отрезок O1O2 виден из точек P и Q под прямым углом. Следовательно, эти точки лежат на окружности с диаметром O1O2 . 3) Пусть H1 и H2 – проекции точек соответственно O1 и O2 на прямую PQ . Поскольку диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, то KH1 = H1M и LH2=H2M . 4) PH1=QH2 , т.к. проекция середины отрезка O1O2 делит отрезок H1H2 пополам; но эта проекция делит пополам и отрезок PQ (диаметр, перпендикулярный хорде). 5) Наконец,

|MK-ML| = 2|MH1-MH2|= 2|MP-MQ|=

=2|AB-CD| = |AB-CD|.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6483
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	63
Год	2000
вариант
Класс	10
задача
Номер	4
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	63
Год	2000
вариант
Класс	9
задача
Номер	5