ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 108136
УсловиеПусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём 2∠MON = ∠AOC. Докажите, что периметр треугольника MBN не меньше стороны AC. РешениеРассмотрим случай, изображённый на рисунке. При повороте вокруг точки O, переводящем вершину B в A, точка M переходит в некоторую точку K, а при повороте вокруг точки O, переводящем вершину B в C, точка N переходит в некоторую точку L. При этом треугольник AOK равен треугольнику BOM, а треугольник COL – треугольнику BON. Поскольку OK = OM, OL = ON и ∠KOL = AOC – (∠AOK + ∠LOC) = ∠AOC – ∠MON = ∠MON, то треугольники KOL и MON равны. Поэтому KL = MN. Следовательно, PMBN = BM + MN + NB = AK + KL + LC ≥ AC.Остальные случаи рассматриваются аналогично. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|