ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 108139
УсловиеПусть ABCD – вписанный четырёхугольник, O – точка пересечения диагоналей AC и BD . Пусть окружности, описанные около треугольников ABO и COD , пересекаются в точке K . Точка L такова, что треугольник BLC подобен треугольнику AKD . Докажите, что если четырёхугольник BLCK выпуклый, то он он является описанным.РешениеБудем считать, что точка K лежит внутри треугольника AOD (все остальные случаи разбираются аналогично). Пусть L' – точка, симметричная точке L относительно прямой BC (рис.1). Тогдано OBC = OAD , т.к. четырёхугольник ABCD вписанный, следовательно, т.к. четырёхугольник ABOK вписанный. Аналогично L'CO = OCK . Поскольку четырёхугольники ABCD , ABOK и CDKO вписанные, то Рассмотрим четырёхугольник BL'CK (рис.2). Пусть N – точка пересечения CK и BL' , а M – точка пересечения BK и CL' . По ранее доказанному CO , BO и KO – биссектрисы углов NBK , MCK и MKN , поэтому точка O равноудалена от сторон четырёхугольника ML'NK , т.е. является центром вписанной в него окружности. Пусть P , Q , R , T – точки касания этой окружности со сторонами ML' , L'N , NK и KM соответственно. Тогда Значит, CK+BL=KB+CL . Следовательно, и четырёхугольник BLCK является описанным, что и требовалось доказать. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|