Задача 108141

Темы:    [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Берлов С.Л.

На большей стороне AC треугольника ABC взята точка N так, что серединные перпендикуляры к отрезкам AN и NC пересекают стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Докажите, что центр O описанной окружности треугольника ABC лежит на описанной окружности треугольника KBM.

Решение

  Пусть P и Q – середины сторон AB и BC соответственно, P₁, K₁, Q₁, M₁, B₁ – проекции точек P, K, Q, M, B на сторону AC. Поскольку P₁ – середина AB₁, а Q₁ – середина CB₁, то  P₁Q₁ = ½ AB₁ + ½ CB₁ = ½ AC.
  Поскольку K₁ – середина AN, а M₁ – середина CN, то  K₁M₁ = ½ AN + ½ CN = ½ AC = P₁Q₁.
  Поэтому, если точка K ближе к вершине B, чем точка P, то точка Q ближе к B, чем точка M. Поскольку  OP ⊥ AB  и  OQ ⊥ BC,  то  ∠POQ = 180° – ∠B.

  Таким образом, утверждение задачи равносильно равенству  ∠KOM = ∠POQ.  С учётом установленного расположения точек, достаточно доказать, что
∠POK = ∠QOM,  что равносильно подобию прямоугольных треугольников OPK и OQM.
  Пусть  ∠A = α,  ∠C = γ.  Поскольку P₁K₁ и Q₁M₁ – проекции отрезков PK и QM на прямую AC, то  P₁K₁ = PK cos α,  Q₁M₁ = QM cos γ,  а так как
P₁Q₁ = K₁M₁,  то  P₁K₁ = Q₁M₁,  и  PK : QM = cos γ : cos α.
  С другой стороны,  ∠BOP = ½ ∠AOB = γ.  Если R – радиус описанной окружности треугольника ABC, то  OP = R cos γ,  OQ = R cos α.  Поэтому
OP : OQ = PK : OM.
  Следовательно, треугольники OPK и OQM подобны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6491
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	01.5.9.7