Задача 108142

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Теорема синусов ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Емельянова Т.

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке K , пересекает внешнюю окружность в точках A и B . Пусть M – середина дуги AB , не содержащей точку N . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK , не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.

Решение

Обозначим внешнюю окружность через , внутреннюю , описанную окружность треугольника BKM – 1 , их радиусы – R , r и r1 соответственно. Пусть отрезок BN пересекает окружность в точке P . При гомотетии с центром в точке N и коэффициентом окружность переходит в окружность . Точка P при этом переходит в точку B , а касательная AB к окружности , проведённая в точке K , – в касательную l к окружности , параллелельную AB . Поскольку касательная l параллельна хорде AB , то точка касания – середина дуги AB , не содержащей точку N , т.е. точка M . Значит, точки N , K и M лежат на одной прямой. Пусть BMN = α . Из теоремы синусов следует, что
= = .
Поскольку при рассматриваемой гомотетии отрезок NP переходит в отрезок NB , то = . По теореме о касательной и секущей BK2 = BP· BN . Значит,
()2 = ()2= = = = = 1- = 1-.
Отсюда следует, что отношение не зависит от выбора точки K , а значит, и r1 не зависит от выбора точки K .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6492
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	01.5.10.3
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	01.5.11.2