Задача 108145

Темы:    [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Сонкин М.

Пусть O – центр описанной окружности ω остроугольного треугольника ABC. Окружность ω₁ с центром K проходит через точки A, O и C и пересекает стороны AB и BC в точках M и N. Известно, что точки L и K симметричны относительно прямой MN. Докажите, что  BL ⊥ AC.

Решение

  Пусть  ∠A = α,  ∠B = β.  Поскольку AOC – центральный угол окружности ω, а угол ABC – вписанный, то  ∠AOC = 2β.
  Вписанные в окружность ω₁ углы AMC и AOC равны.
  Поскольку AMC – внешний угол треугольника BMC, то   BCM = ∠AMC – ∠MBC = 2β – β = β,  а так как MKN – центральный угол окружности ω₁, то
∠MKN = 2∠MCN = 2∠MCB = 2β.

  Четырёхугольник AMNC вписан в окружность ω₁, поэтому  ∠BNM = α.
  Поскольку точка L симметрична точке K относительно прямой MN, то  ∠MLN = ∠MKN = 2β,  а так как  LM = MK = KN = LN  и  ∠MBN = ½ ∠MLN,  то L – центр описанной окружности треугольника MBN. Центральный угол BLM этой окружности вдвое больше вписанного угла BNM, то есть равен 2α. Из равнобедренного треугольника BLM находим, что  ∠MBL = 90° – α.
  Пусть прямые BL и AC пересекаются в точке P. Тогда  ∠APB = 180° – ∠ABP – ∠BAP = 180° – (90° – α) – α = 90°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6495
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	00.5.9.3