Задача 108153

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Площади криволинейных фигур ] [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Авторы: Сендеров В.А., Произволов В.В.

Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками AB и AD и дугой BD некоторой окружности (рис.1). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) её площадь.

Решение

а) Достаточно провести прямую через середину дуги и середину ломаной BAD . б) Пусть A – вершина угла BAD , B и D – концы дуги, C – её середина. Сегменты, опирающиеся на хорды BC и CD равны. Поэтому достаточно провести через точку C прямую, которая делит пополам площадь четырёхугольника ABCD . Проведём через середину M диагонали BD прямую l , параллельную AC . Пусть она пересекает сторону AB в точке E (случай пересечения прямой l с со стороной AD рассматривается аналогично). Точки B и D равноудалены от прямой l . Обозначим через а – их расстояния до прямой l , а через b – расстояние между параллельными прямыми AC и l . Тогда

S_ADCE = S_{Δ ACD} + S_{Δ ACE} = AC(a-b) + AC· b= AC· a,

S_{Δ BCE} = S_{Δ ACB} - S_{Δ ACE} = AC(a+b) - AC· b = AC· a = S_ADCE,
что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6503
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	1999
вариант
Класс	11
задача
Номер	2