|
|
 |
Условие
На стороне AB параллелограмма ABCD (или на её продолжении) взята точка M, для которой ∠MAD = ∠AMO, где O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что MD = MC.
Решение
Пусть K – точка, симметричная точке A относительно перпендикуляра MN к прямой AB (см. рис.). Тогда AM = MK и, следовательно, MO – средняя линия треугольника CAK. Поэтому CK || MO и ∠MKC = ∠AMO = ∠MAD. Значит, при симметрии относительно MN прямая AD переходит в прямую KC. Точка, симметричная точке D относительно MN, находится, с одной стороны, на перпендикуляре DC к MN, а с другой – на образе KC прямой AD при этой симметрии, то есть совпадает с C. Таким образом, отрезки MD и MC симметричны относительно MN и потому равны.
Замечания
1. 3 балла.
2. Это решение не зависит от положения точки M на прямой AB. Другие решения требуют разбора нескольких случаев расположения точки M. Эта трудность исчезает, если положение точки M определено более точно. Например, на Регате уточнялось, что "точка M лежит на продолжении стороны AB за точку B".
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4363 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая регата |
| год | |
| Год | 2014/15 |
| класс | |
| Класс | 8 |
| задача | |
| Номер | 8.4.2 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Дата | 1997/1998 |
| Номер | 19 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, основной вариант, 8-9 класс |
| Задача | |
| Номер | 2 |
