Задача 108170

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Формулы для площади треугольника ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

На сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты точки C' , A' и B' соответственно. Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна

,
где R – радиус описанной окружности треугольника ABC .

Решение

Поскольку S_{Δ ABC}= , достаточно доказать, что

= .
Обозначим
= x, = y, = z.
Тогда
=· = x(1-y), =· = y(1-z),

=· =z(1-x).
Поэтому
S_{Δ A'B'C'} = (1- x(1-y) - y(1-z)- z(1-x))S_{Δ ABC}=

=(xyz+(1-x)(1-y)(1-z))S_{Δ ABC}=

=(AB'· BC'· CA' + AC'· CB'· BA')S_{Δ ABC}.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6517
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	60
Год	1997
вариант
Класс	11
задача
Номер	1