Задача 108176

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Покрытия ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Докажите, что остроугольный треугольник полностью покрывается тремя квадратами, построенными на его сторонах как на диагоналях.

Решение

Пусть K_C – квадрат, построенный на стороне AB треугольника ABC как на диагонали. Аналогично определяются квадраты K_A и K_B . Пусть O – точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Поскольку BAC < 90^o и ABC < 90^o , то BAO < 45^o и ABO < 45^o . Значит, все точки треугольника AOB лежат внутри квадрата K_C , т.е. треугольник AOB покрывается квадратом K_C . Аналогично, треугольники BOC и AOC покрываются квадратами K_A и K_B соответственно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6523
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1997
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	97.4.8.5