|
|
 |
Условие
Города A , B , C и D расположены так, что расстояние от C до A меньше, чем расстояние от D до A , а расстояние от C до B меньше, чем расстояние от D до B . Докажите, что расстояние от города C до любой точки прямолинейной дороги, соединяющей города A и B , меньше, чем расстояние от D до этой точки.Подсказка
Проведите серединный перпендикуляр l к отрезку CD. Точки A и B лежат в той полуплоскости с границей l, которая содержит точку C.
Решение
Лемма. Дан отрезок XY. Геометрическое место точек Z, таких, что ZX > ZY, есть полуплоскость с границей l, содержащая точку Y, где l – серединный перпендикуляр к отрезку XY.
Доказательство.
Серединный перпендикуляр l к отрезку XY делит плоскость на две
полуплоскости. Рассмотрим полуплоскость, содержащую точку Y (рис. 1).
Докажем, что для любой точки Z этой полуплоскости ZX > ZY.
Действительно, поскольку точки X и Z лежат в разных полуплоскостях
с границей l, то отрезок ZX пересекает прямую l в некоторой точке T.
По свойству серединного перпендикуляра TX = TY, поэтому
ZY < TY + TZ = TX + TZ = XZ.
Докажем теперь, что если ZY < ZX, то точки Y и Z лежат в одной полуплоскости с границей l.
Точка Z не может лежать на прямой l, т.к. в этом случае
ZY = ZX. Если же точки Y и Z лежат по разные стороны от прямой l, то
точки Z и X лежат по одну сторону от этой прямой. В этом случае
(см. первую часть доказательства) ZY > ZX, что противоречит
условию.
Лемма доказана.
Рассмотрим теперь нашу задачу. Проведём серединный перпендикуляр l к отрезку
CD (рис. 2). Поскольку AC
