ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108212
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три окружности ω1, ω2 и ω3 радиуса r проходят через точку S и касаются внутренним образом окружности ω радиуса R  (R > r)  в точках T1, T2 и T3 соответственно. Докажите, что прямая T1T2 проходит через вторую (отличную от S) точку пересечения окружностей ω1 и ω2.


Решение

  Обозначим через O1, O2, O3 и O центры окружностей ω1, ω2, ω3 и ω соответственно. Поскольку линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания, то точки O, O1 и T1 лежат на одной прямой, причём  OO1 = OT1O1T1 = R – r.

  Аналогично  OO2 = OO3 = R – r,  поэтому O – центр описанной окружности треугольника O1O2O3. Поскольку  SO1 = SO2 = SO3 = r,  точка S также является центром описанной окружности треугольника O1O2O3. Следовательно, точки S и O совпадают.
  Пусть M – точка пересечения ω1 и ω2. Поскольку T1O – диаметр ω1,  ∠OMT1 = 90°.  Аналогично,  ∠OMT2 = 90°.  Следовательно, точка M лежит на прямой T1T2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6559
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 04.4.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .