|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC с попарно различными сторонами. На его сторонах построены внешним образом правильные треугольники ABC1, BCA1 и CAB1. Докажите, что треугольник A1B1C1 не может быть правильным.
Решение
Предположим, что треугольник A1B1C1 – правильный.
Если точка A лежит на отрезке B1C1, то из равенства ∠C1B1A1 = ∠AB1C = 60° следует, что C лежит на B1A1. При этом
∠BAC = 180° – ∠BAC1 – ∠CAB1 = 60°. Аналогично, ∠ACB = 60°. Следовательно, треугольник ABC
– правильный, что противоречит условию. Значит, точка A не лежит
на B1C1.
Рассмотрим треугольники A1BC1, B1CA1 и C1AB1. Назовём один из них внешним, если он пересекается с треугольником ABC только по соответствующей вершине (так, на левом рисунке внешними являются треугольники A1BC1 и C1AB1, а на правом – треугольник A1BC1); иначе назовём его внутренним.
Тогда к одной из вершин A1, B1, C1 прилегают либо два внешних треугольника (рис. слева), либо два внутренних (рис. справа). В первом случае соответствующий угол треугольника A1B1C1 больше 60°, во втором – меньше. Противоречие.
