|
|
 |
Условие
Каждую сторону выпуклого четырёхугольника продолжили в обе стороны и на всех восьми продолжениях отложили равные между собой отрезки. Оказалось, что получившиеся восемь точек – внешние концы построенных отрезков – различны и лежат на одной окружности. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат.
Решение
Пусть ABCD – данный четырёхугольник, а A1A2B1B2C1C2D1D2 – полученный восьмиугольник, O – центр описанной около него окружности радиуса R. Тогда точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB (AA1 = BB2). Аналогично точка O лежит на серединном перпендикуляре ко всем сторонам четырёхугольника ABCD, то есть является центром описанной около него окружности (пусть r – её радиус). OA1 = OC2 = R, OA = OC = r, значит, треугольники OAA1 и OCC2 равны по трём сторонам. Отсюда следует, что ∠OA1A = ∠OC2C. Поэтому равны равнобедренные треугольники OA1B2 и OC2B1, откуда A1B2 = C2B1, то есть AB = BC. Аналогично BC = CD = DA, то есть ABCD – ромб, а так как он вписан в окружность, то это – квадрат.
