ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108217
Темы:    [ Поворотная гомотетия ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Серединный перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC пересекает сторону BC в точке M. Биссектриса угла AMB пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке K. Докажите, что прямая, проходящая через центры вписанных окружностей треугольников AKM и BKM, перпендикулярна биссектрисе угла AKB.


Решение

  Поскольку MK – биссектриса внешнего угла при вершине M равнобедренного треугольника AMC, то  MK || AC.  Пусть продолжение отрезка MK за точку M пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке K1. Дуги AK и CK1, заключённые между параллельными хордами KK1 и AC, равны. Поэтому  ∠KBM = ∠KBC = ∠AKK1 = ∠AKM.

  Значит, треугольники MAK и MKB подобны по двум углам. Если  ∠BMK = ∠KMA = α,  то треугольник MAK переходит в треугольник MKB при композиции поворота вокруг точки M на угол α и гомотетии с центром M (поворотной гомотетии с центром M и углом α). При этом центр O1 вписанной окружности треугольника MAK переходит в центр O2 вписанной окружности треугольника MKB. Поскольку  MO1 : MO2 = MK : MB  и
O1MO2 = ∠O1MK + ∠O2MK = α/2 + α/2 = α = ∠KMB,  то треугольник O1MO2 подобен треугольнику KMB и переходит в него при композиции поворота на угол α/2 вокруг точки M и гомотетии с центром M. Следовательно, угол между прямыми O1O2 и KB также равен α/2. Аналогично, угол между прямыми O1O2 и KA равен α/2. Если прямая O1O2 пересекает прямые KB и KA в точках P и Q, то треугольник PKQ – равнобедренный. Его биссектриса, проведённая из вершины K, является высотой, а значит, перпендикулярна прямой O1O2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6564
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 02.4.10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .