ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108241
Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Сонкин М.

В треугольнике ABC  (AB > BCK и M – середины сторон AB и AC, O – точка пересечения биссектрис. Пусть P – точка пересечения прямых KM и CO, а точка Q такова, что  QPKM  и  QM || BO.  Докажите, что  QOAC.


Решение

  Пусть углы треугольника ABC равны 2α, 2β и 2γ соответственно. Опустим перпендикуляр OR на прямую AC. Пусть перпендикуляр к прямой KM, восставленный из точки P, пересекает прямую OR в точке Q'. Достаточно доказать, что  MQ' || BO,  так как это будет означать, что точки Q' и Q совпадают.

  Так как  KM || BC, то  ∠MPC = ∠BCP = ∠PCM = γ.  Значит, треугольник MPC – равнобедренный:  PM = MC = MA.  Следовательно, треугольник APC – прямоугольный.
  Точки P и R лежат на окружности с диаметром AO, поэтому  ∠OPR = ∠OAR = α.
  Точки P и R лежат на окружности с диаметром MQ', поэтому  ∠Q'MR = ∠Q'PR = ∠Q'PO + ∠OPR = (90° – ∠OPM) + ∠OPR = 90° – γ + α.
  Пусть прямая BO пересекает сторону AC в точке D. Тогда  ∠BDC = 180° – β – 2γ = α + 90° – γ = ∠Q'MR.  Следовательно,  BD || Q'M.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6588
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1999
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 99.4.9.8
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1999
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 99.4.11.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .