ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 108241
УсловиеВ треугольнике ABC (AB > BC) K и M – середины сторон AB и AC, O – точка пересечения биссектрис. Пусть P – точка пересечения прямых KM и CO, а точка Q такова, что QP ⊥ KM и QM || BO. Докажите, что QO ⊥ AC. Решение Пусть углы треугольника ABC равны 2α, 2β и 2γ
соответственно. Опустим перпендикуляр OR на прямую AC. Пусть перпендикуляр к прямой KM, восставленный из точки P, пересекает прямую OR в точке Q'. Достаточно доказать, что MQ' || BO, так как это будет означать, что точки Q' и Q совпадают. Точки P и R лежат на окружности с диаметром AO, поэтому ∠OPR = ∠OAR = α. Точки P и R лежат на окружности с диаметром MQ', поэтому ∠Q'MR = ∠Q'PR = ∠Q'PO + ∠OPR = (90° – ∠OPM) + ∠OPR = 90° – γ + α. Пусть прямая BO пересекает сторону AC в точке D. Тогда ∠BDC = 180° – β – 2γ = α + 90° – γ = ∠Q'MR. Следовательно, BD || Q'M. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|