Условие
В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C1, B1 и A1 соответственно. Пусть K – точка на окружности, диаметрально противоположная точке C1, D – точка пересечения прямых B1C1 и A1K. Докажите, что CD = CB1.
Решение 1
Через вершину C проведём прямую, параллельную стороне AB. Пусть проведённая прямая пересекается с прямой B1C1 в точке D1. Треугольник CD1B1 подобен равнобедренному треугольнику AC1B1. Значит, CD1 = CB1. Теперь достаточно доказать, что точка D совпадает с D1, то есть что прямая A1K проходит через точку D1.
Поскольку CD1 = CB1 = CA1, то треугольник CA1D1 – равнобедренный. Поэтому ∠CA1D1 = ½ (180° – ∠A1CD1) = ½ ∠B.
Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Тогда ∠CBI = ½ ∠B = ∠CA1D1. Значит, A1D1 || BI.
С другой стороны, BI ⊥ A1C1, а так как A1K ⊥ A1C1 (C1K – диаметр окружности), то A1K || BI. Значит, точки A1, K и D1 лежат на одной прямой.
Решение 2
Обозначим ∠C = γ. Тогда ∠A1IB1 = 180° – γ, ∠A1 C1B1 = ½ ∠A1IB1 = 90° – γ/2.
Из прямоугольного треугольника DA1C1 находим, что ∠A1DC1 = 90° – A1C1D = γ/2 = ½ A1CB1. При этом CA1 = CB1, значит, точки A1, B1 и D лежат на окружности с центром C. Следовательно, CD = CB1.
