Задача 108246

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Сонкин М.

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D . Окружность, описанная около треугольника BCD , пересекает сторону AC в точке M , а окружность, описанная около треугольника ACD , пересекает сторону BC в точке N (точки M и N отличны от точки C ). Пусть O – центр описанной окружности треугольника CMN . Докажите, что прямая OD перпендикулярна стороне AB .

Решение

Рис. 1
Первый способ. Углы ADC и BDC – смежные (рис.1), поэтому хотя бы один из них не является острым. Пусть ADC 90^o. Обозначим ACB = γ.

Из условия задачи следует, что четырёхугольник ACND – вписанный, причём точки N и D лежат по одну сторону от прямой AC , поэтому ANC = ADC . В треугольнике ACN угол ANC не меньше 90^o , значит, угол ACN этого треугольника – острый. Из этого следует, что в треугольнике MNC угол при вершине C – острый, т.е. γ < 90^o . Поэтому вершина C и центр O описанной окружности треугольника MNC лежат по одну сторону от прямой MN . Поскольку MON – центральный угол этой окружности, а MCN – вписанный, то
MON = 2 MCN = 2γ.
Четырёхугольники ADNC и BDMC – вписанные, поэтому
ADM = 180^o- BDM = BCM = γ, BDN = 180^o- ADN = ACN = γ.
Значит,
MDN = 180^o - ( ADM + BDN) = 180^o-2γ,
поэтому
MDN + MON = (180^o-2γ) + 2γ = 180^o,
т.е. четырёхугольник DMON также вписан в некоторую окружность. Вписанные углы ODM и ODN этой окружности опираются на равные хорды OM и ON (радиусы описанной окружности треугольника MCN ), значит, они равны. Тогда
ADO = ADM+ ODM = BDN + ODN = BDO,
а т.к. углы ADO и BDO – смежные, то каждый из них равен 90^o . Следовательно, OD AB .


Рис. 2
Второй способ. Пусть m1 , m2 , l1 , l2 – серединные перпендикуляры к отрезкам CN , CB , CM и CA сооответственно, O = m1 l1 , O1 = m1 l2 , O2 = m2 l1 , O3 = m2 l2 – центры окружностей, описанных около треугольников CMN , ANC (и ADC ), BMC (и BDC ), ABC (рис.2).
Спроектируем точки O , O1 , O2 и O3 на AB . Пусть K , P , Q и R – их проекции. Поскольку OO1O3O2 – параллелограмм, то = , но
= (-)= = .
Отсюда = и K=D , что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6593
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2000
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	00.4.9.7