|
|
 |
Условие
Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика?
Решение 1
Если кубик зафиксировать, то поместить 8 разных шариков в его вершины можно 8! способами. Но кубик можно поворачивать: каждую из шести его граней можно сделать нижней и поставить на нее четырьмя способами. Поэтому каждому кубику соответствуют 6·4 = 24 "раскраски", и общее число моделей равно 8! : 24 = 8·7·6·5 = 1680.
Решение 2
Сначала "наклеим" белый шарик. Повернём кубик так, чтобы белый шарик оказался в левом нижнем переднем углу. Теперь выберем 3 шарика для соседних вершин (это можно сделать способами). "Наклеим" один из них и повернем кубик так, чтобы это шарик оказался в правом нижнем переднем углу (а белый остался на месте). Теперь есть два способа наклеить отбранные два шарика в оставшиеся две вершины, соседние с белой. И в каждом из них еще 4! способов "наклеить" оставшиеся четыре шарика на оставшиеся четыре вершины. Всего
моделей.
