Задача 108483

Темы:    [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ Формула Герона ] [ Неравенство Коши ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что из всех треугольников данной площади равносторонний имеет наименьший периметр.

Решение 1

Пусть a, b и c – стороны треугольника, p – полупериметр, S – площадь. По формуле Герона  S² = p(p – a)(p – b)(p – c).  Заметим, что
p = ¾ (^p/₃ + (p – a) + (p – b) + (p – c).  Поскольку произведение четырёх сомножителей  ^p/₃(p – a)(p – b)(p – c) = ¾ S²  постоянно, то согласно неравенству Коши их сумма минимальна, когда все они равны между собой:  ^p/₃ = p – a = p – b = p – c.  Отсюда следует, что  a = b = c = ^2p/₃,  то есть треугольник – равносторонний.

Решение 2

Пусть из треугольников данной площади S периметр 2p равностороннего треугольника T не наименьший: есть треугольник T′ с меньшим полупериметром p′. Тогда согласно задаче 108484 площадь S'' равностороннего треугольника T'' с полупериметром p′ больше S. Мы получили два подобных треугольника T и T'', причём у одного больше площадь, а у второго – периметр. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3222