Информация о задаче

Задача 108490

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Пересекающиеся окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Отрезок AB является диаметром окружности. Вторая окружность с центром в точке B имеет радиус, равный 2, и пересекается с первой окружностью в точках C и D. Хорда CE второй окружности является частью касательной к первой окружности и равна 3. Найдите радиус первой окружности.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из точки B на хорду CE. Примените теорему об угле между касательной и хордой.

Решение

Пусть M — проекция точки B на хорду CE второй окружности. Тогда M — середина CE. Обозначим $\angle$ BCM = $\alpha$ . Из прямоугольного треугольника BMC находим, что

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{CM}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{3}{2}}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ .

Тогда

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{1-\frac{9}{16}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{7}}{4}}$ .

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что $\angle$ BAC = $\angle$ BCM = $\alpha$ .

Пусть R — искомый радиус первой окружности. По теореме синусов

R = $\displaystyle {\frac{BC}{2\sin \angle BAC}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{2\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{2\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}}}$ = $\displaystyle {\frac{4}{\sqrt{7}}}$ .

Ответ

${\frac{4}{\sqrt{7}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3975