Информация о задаче

Задача 108491

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD угол между диагоналями AC и BD равен 30^o. Известно отношение AC : BD = 2 : $\sqrt{3}$ . Точка B₁ симметрична вершине B относительно прямой AC, а точка C₁ симметрична вершине C относительно прямой BD. Найдите отношение площадей треугольника AB₁C₁ и параллелограмма ABCD.

Подсказка

Рассмотрите два случая: $\angle$ AOB = 30^o и $\angle$ BOC = 30^o. Примените теорему косинусов.

Решение

Положим AO = 2a. Тогда BO = a $\sqrt{3}$ ,

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BD sin 30^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.4a^.2a $\displaystyle \sqrt{3}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = 2a² $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Пусть $\angle$ AOB = 30^o (рис.1). По теореме косинусов из треугольника AOB находим, что

AB² = OA² + OB² - 2OA^.OB^.cos 30^o = 4a² + 3a² - 2^.2a^.a $\displaystyle \sqrt{3}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = a².

Поскольку AB² + OB² = a² + 3a² = 4a² = OA², то треугольник AOB прямоугольный, $\angle$ ABO = 90^o. Поскольку CD $\Vert$ AB, то CD $\perp$ BD, поэтому точки C, D и C₁ лежат на одной прямой. Тогда ABDC₁ — прямоугольник, значит, AC₁ = BD = 2a $\sqrt{3}$ .

Поскольку $\angle$ BAB₁ = 2 $\angle$ BAO = 120^o, то

$\displaystyle \angle$ B₁AC₁ = $\displaystyle \angle$ BAB₁ - $\displaystyle \angle$ BAC₁ = 120^o - 90^o = 30^o.

Значит,

S_AB₁C₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AB₁^.AC₁^.sin $\displaystyle \angle$ B₁AC₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AB^.AC₁^.sin 30^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.a^.2a $\displaystyle \sqrt{3}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta AB_{1}C_{1}}}{S_{ABCD}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}}{2a^{2}\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ .

Пусть теперь $\angle$ BOC = 30^o (рис.2). Тогда DB $\perp$ BC, точки C, B и C₁ лежат на одной прямой, DAC₁B — прямоугольник, $\angle$ C₁AC = $\angle$ BOC = 30^o,

AC₁ = DB = 2a $\displaystyle \sqrt{3}$ ,

AB₁ = AB = $\displaystyle \sqrt{OA^{2}+OB^{2} - 2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos 150^{\circ}}$ =

$\displaystyle \sqrt{4a^{2}+3a^{2}+2\cdot 2a\cdot a\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$ = a $\displaystyle \sqrt{13}$ .

Пусть M — середина BB₁. Из прямоугольного треугольника AMB находим, что

sin $\displaystyle \angle$ BAM = $\displaystyle {\frac{BM}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{13}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}}$ .

Тогда

cos $\displaystyle \angle$ BAM = $\displaystyle \sqrt{1-\frac{3}{52}}$ = $\displaystyle {\frac{7}{2\sqrt{13}}}$ .

Поскольку

$\displaystyle \angle$ B₁AC₁ = $\displaystyle \angle$ CAC₁ + $\displaystyle \angle$ MAB₁ = $\displaystyle \angle$ BOC + $\displaystyle \angle$ MAB₁ = 30^o + $\displaystyle \angle$ MAB₁,

то

sin $\displaystyle \angle$ B₁AC₁ = sin(30^o + $\displaystyle \angle$ MAB₁) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{7}{2\sqrt{13}}}$ + $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}}$ = $\displaystyle {\frac{5}{2\sqrt{13}}}$ .

Значит,

S_AB₁C₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AB₁^.AC₁^.sin $\displaystyle \angle$ B₁AC₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AB^.BD^.sin(30^o + $\displaystyle \angle$ MAB₁) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.a $\displaystyle \sqrt{13}$ ^.2a $\displaystyle \sqrt{3}$ ^. $\displaystyle {\frac{5}{2\sqrt{13}}}$ = $\displaystyle {\frac{5a^{2}\sqrt{3}}{2}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta AB_{1}C_{1}}}{S_{ABCD}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{5a^{2}\sqrt{3}}{2}}{2a^{2}\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{4}}$ .

Ответ

${\frac{1}{4}}$ или ${\frac{5}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3976