Задача 108503

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точки M и N находятся на боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD, прямая MN параллельна AD, а отрезок MN делится диагоналями трапеции на три равные части. Найдите длину отрезка MN, если  AD = a,  BC = b,  а точка пересечения диагоналей трапеции лежит внутри четырёхугольника MBCN.

Подсказка

Рассмотрите две пары подобных треугольников: DNL и DCB, CNK и CDA.

Решение

  Пусть отрезок MN пересекается с диагональю AC в точке K, а с диагональю BD – в точке L. Обозначим  MK = KL = LN = x.
  Из подобия треугольников DNL и DCB следует, что  ^x/_b = ^DN/_DC.
  Из подобия треугольников CNK и CDA следует, что   ^2x/_a = ^CN/_CD.  Отсюда  x(²/_a + ¹/_b) = 1.  Следовательно,  MN = 3x = ^3ab/_a+2b.

Ответ

^3ab/_a+2b.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3988