Информация о задаче

Задача 108548

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны точки A(- 6; - 1), B(1;2) и C(- 3; - 2). Найдите координаты вершины M параллелограмма ABMC.

Решение

Первый способ.

Координаты середины K(x₀;y₀) диагонали BC параллелограмма ABMC есть средние арифметические соответствующих координат концов отрезка BC, т.е.

x₀ = $\displaystyle {\frac{1-3}{2}}$ = - 1, y₀ = $\displaystyle {\frac{2-2}{2}}$ = 0.

Поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то K(x₀;y₀) — середина отрезка с концами в точках A(- 6; - 1) и M(x₁;y₁). Поэтому

x₀ = $\displaystyle {\frac{-6+x_{1}}{2}}$ = - 1, y₀ = $\displaystyle {\frac{-1+y_{1}}{2}}$ = 0.

Отсюда находим, что x₁ = 4, y₁ = 1.

Второй способ.

Пусть x₁, y₁ — координаты точки M. Если ABMC — параллелограмм, то $\overrightarrow{BM}$ = $\overrightarrow{AC}$ , а т.к.

$\displaystyle \overrightarrow{BM}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(x_{1}-1;y_{1}-2)}$ , $\displaystyle \overrightarrow{AC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(-3-(-6);-2-(-1)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(3;1)}$ ,

то

x₁ - 1 = 3, y₁ - 2 = - 1.

Отсюда находим, что x₁ = 4, y₁ = 1.

Ответ

M(4;1).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4239