Информация о задаче

Задача 108566

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его высот, делённому на синус угла между ними, т.е.

S = $\displaystyle {\frac{h_{a}h_{b}}{\sin \gamma}}$ ,

где h_a и h_b — высоты, опущенные на соседние стороны, равные a и b, а $\gamma$ угол между этими сторонами.

Решение

Пусть BM = h_b и DN = h_a — высоты параллелограмма ABCD, опущенные на стороны AD и AB соответственно, AB = a и AD = b — стороны параллелограмма, $\gamma$ — угол между прямыми BM и DN. Тогда угол между прямыми AB и AD также равен $\gamma$ . Из прямоугольных треугольников AND и BMA находим, что

b = AD = $\displaystyle {\frac{DN}{\sin \angle BAD}}$ = $\displaystyle {\frac{h_{a}}{\sin \gamma}}$ , a = AB = $\displaystyle {\frac{BM}{\sin \angle BAD}}$ = $\displaystyle {\frac{h_{b}}{\sin \gamma}}$ .

Следовательно,

S_ABCD = AB^.AD^.sin $\displaystyle \angle$ BAD = ab sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{h_{b}}{\sin \gamma}}$ ^. $\displaystyle {\frac{h_{a}}{\sin \gamma}}$ ^.sin $\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle {\frac{h_{a}h_{b}}{\sin \gamma}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4257